CFA putable bond의 convexity 관련 질문
안녕하세요. level 3 fixed income을 듣고 있는 수강생입니다
사실 저는 FRM시절부터 당연하게 r이 높아질 경우 putable bond의 convexity(앞으로 그냥 C 라고 하겠습니다)가 straight bond의 C보다 높은 걸로 알고있어서, 이 부분의 수업을 들었을 때 약간 당황했습니다. 저는 이번 CFA강의의 해당 부분이 개인적으로 잘못되었다고 생각하는데, 제 실수가 있으면 지적해 주십시오. 다만 꼭 구체적으로 지적을 해주셨으면 합니다.
C는 기울기의 변화에 비례합니다. 실제로 두 채권의 그래프를 보면, 높은 r(=r2)을 고정시키면 같은 r에서 putable bond의 기울기가 더 flat한 것을 알수 있습니다. 이 기울기를 straight의 경우를 편의상 -0.1로, putable의 경우를 -0.01로 하겠습니다. 낮은 r(=r1)의 경우는 사실상 같은 가격과 기울기를 가지므로, 이 기울기를 편의상 양쪽 모두 -1로 하겠습니다.
이에 따라서 r1과 r2 (r1<r2)의 기울기의 평균변화율 (가격의 평균변화율이 아님)을 구해보면,
straight bond의 경우 ((-0.1)-(-1))/(r2-r1) = 0.9/(r2-r1) 이고,
putable bond의 경우 ((-0.01)-(-0.1))/(r2-r1) = 0.99/(r2-r1) 이므로,
putable bond 기울기의 평균변화율이 더 높습니다. 기울기의 순간변화율이 모여서 기울기의 평균변화율을 구성하는 것을 생각한다면, putable bond의 convexity가 더 높아야 합니다.
다른 말로 하자면, 똑같이 높은 steepness로부터 putable bond가 더 빨리 flat해지기 때문에, 기울기의 변화가 더 빠르다는 겁니다. 따라서 putable bond가 더 빨리 flat해진다는 것은 더 높은 C를 갖는다는 얘기가 되는 것이지, 더 낮은 C를 갖는다고 주장한다면 모순이 됩니다.
cfa관련 사이트를 제외하고는 대부분 putable bond의 C가 더 크다고 말하고 있는 듯 합니다. 예를들어: https://analystprep.com/study-notes/cfa-level-2/compare-effective-convexities-of-callable-putable-and-straight-bonds/
여기에서도, "Besides, the convexity of a putable bond becomes greater than that of a straight bond when the put is near the money."라고 설명하고 있습니다.
그런데 심지어 cfa관련 사이트 중에서도 저와 같은 주장을 하는 곳도 있습니다.
https://cfastudyguide.com/adjusting-convexity/
여기서, " Thus the putable bond has increased positive convexity (at higher rates) compared to an otherwise equivalent option-free bond." 라고 설명하고 있습니다.
근데 이게 사실 여기서 끝나는 문제가 아닙니다. putable bond의 C는 straight bond의 C보다 높다는 것을 인정한다면 put option을 떼어서 보면 C가 양수입니다.
여기서 더 나아가면 long payer swaption의 impact on convexity도 틀렸습니다. 일단 payer swap은 long 변동금리채권 + short 고정금리채권인데, 다른 조건이 같다면 변동금리채권은 고정금리채권보다 D와 C가 낮습니다. (D는 명백하지만, C는 제가 직접 연구해서 알아냈습니다.) 따라서 payer swap은 D와 C가 음수입니다. 따라서 D와 C 관점으로는 payer swap은 같은 절대값의 D와 C를 갖는 채권(앞으로는 채권 A)에 대한 short position과 완전한 동치가 됩니다. 따라서 long payer swaption은 채권 A의 short position을 취할 권리이므로, 채권 A에 대한 long put과 같습니다. 따라서 long payer swaption의 C는 양수, 그러므로 long payer swaption은 포트폴리오의 C를 감소시키는게 아니라 증가시키는 역할을 합니다.
저는 이에 따라서 슈웨이저 노트 80페이지에 있는 표가 틀렸다고 생각합니다. 제 생각에 오류가 있다면 구체적으로 지적해 주십시오. 교재와 배치되는 제 주장에 대한 확신이 너무 강하게 들어서, 공부하면서도 매우 혼란스럽습니다.
조성열 드림.
댓글
정확히 같은 의문사항을 가지고 있습니다... 빠른 답변 부탁드립니다^^
안녕하세요
저는 일개 수강생이지만 비슷한 의문을 가지고 있었던 상황에서 첨언을 하고자 합니다
p.80에 나오는 표는 bonds with embedded option(callable & putable bond)에 대한 설명이 아니고,
"포트폴리오 관점"에서 bond에 대한 call/put option을 추가했을 때 convexity에 미치는 영향을 설명하는 것이기 때문에
putable bond의 convexity가 straight bond보다 크다는 내용과 배치되는 것은 아니라고 생각했습니다
마찬가지로 payer swaption에 대한 p.80의 설명도 포르폴리오 관점에서 보면 negative convexity가 추가되는 경우로 간주할 수 있기 때문에,
(이미 설명하신 내용에도 payer swap은 D, C가 음수라고 하셨네요)
convexity가 감소한다는 표의 설명은 명쾌해 보입니다.
아마 putable bond가 포트폴리오에 추가되는 경우와 헷갈리신 게 아닐지요 ㅠ
안녕하세요. 이패스코리아입니다.
강사님께 문의 후 답변 전달 드리겠습니다.
감사합니다.
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